格林公式的定义和一些练习
格林公式的定义，证明以及关于计算面积的一个应用。
简单闭曲线
$\quad$设曲线$C$的参数方程为
$$
\begin{cases}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t)
\end{cases}
\quad(\alpha\le{t}\le\beta).
$$
如果$\varphi,\psi$连续，且对不同的参数$t_1,t_2\in[\alpha,\beta]$(不妨设$t_1\le{t_2}$),$(\varphi(t_1),\psi(t_1))=(\varphi(t_2),\psi(t_2))$当且仅当$t_1=\alpha,t_2=\beta$,则称$C$为简单闭曲线
单连通区域
$\quad$设有一个平面区域$D$,若$D$内的任意一条简单闭曲线所围的部分仍属于$D$，则称$D$为单连通区域，否则称为多连通区域.
格林公式
$\quad$设有界闭区域$D$由逐段光滑曲线$C$围成，函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，则
$$
\begin{split}
\oint_C{P}\mathtt{d}x+Q\mathtt{d}y=\iint\limits_D\left(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\right)\mathtt{d}x\mathtt{d}y
\end{split}
$$
用途
通常这些东西总是有用的，我们观察上面的式子。
左边一部分是对光滑曲线$C$的第二类曲线积分，格林公式告诉我们它会与在由曲线围成的平面区域$D$上对两个方向的分量在另一个方向的偏导之差的积分相等.
证明
为了加深理解，我们来看一下证明.
证明格林公式的时候是拆开证的，也就是
$$
\oint_CP\mathtt{d}x=-\iint\limits_D\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathtt{d}x\mathtt{d}y, \quad\oint_CQ\mathtt{d}y=\iint\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}\mathtt{d}x\mathtt{d}y
$$
分以下三种情况讨论:
- $D$由曲线$y=\varphi_1(x),y=\varphi_2(x)$，及直线$x=a,x=b$围成，即
$$
D=\{(x,y)\mid\varphi_1(x)\le{y}\le\varphi_2(x),a\le{x}\le{b}\}
$$
我们假设区域的4个顶点从左下开始，以逆时针标记为A,B,C,E四个点。
首先我们看看左边部分，因为左右两边是竖线，我们有:
$$
\begin{split}
\oint_CP\mathtt{d}x&=\int_{\overset{\frown}{AB}}P\mathtt{d}x+\int_{\overline{BC}}P\mathtt{d}x+\int_{\overset{\frown}{CE}}P\mathtt{d}x+\int_{\overline{EA}}P\mathtt{d}x\\
&=\int_{\overset{\frown}{AB}}P\mathtt{d}x+\int_{\overset{\frown}{CE}}P\mathtt{d}x\\
&=\int_a^bP(x,\varphi_1(x))\mathtt{d}x+\int_b^aP(x,\varphi_2(x))\mathtt{d}x\\
&=\int_a^bP(x,\varphi_1(x))-P(x,\varphi_2(x))\mathtt{d}x\\
\end{split}
$$
而等式的右边有：
$$
\begin{split}
-\iint\limits_D\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathtt{d}x\mathtt{d}y&=-\int_a^b\mathtt{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathtt{d}y\\
&=-\int_a^bP(x,\varphi_2(x))-P(x,\varphi_1(x))\mathtt{d}x\\
\end{split}
$$
可见两者相等。而在另一个方向上的证明也类似，略去。
- $D$是单连通区域，且与某些与$y$轴平行的直线相交多于两点
如果某个单连通区域没有与某些与$y$轴平行的直线相交多于两点，我们直接把它切成上下两个部分就ok了。所以我们可以略过这一个情况。
如果有相交多于两点的情况，我们可以把它进行切割，使得每个部分都是情况1中的情况来证明。
- $D$是多连通区域
多连通区域也可以拆成上面的几个区域组成的部分，从而得证。
做题环节
题目1
求椭圆$x=a\cos\theta,y=b\sin\theta$所围图形面积.
解：
我们可以从格林公式中得到一个简单的应用：
当$P=-y,Q=x$时，公式就变成了
$$
\begin{split}
\oint_C{-y}\mathtt{d}x+x\mathtt{d}y=2\iint\limits_D\mathtt{d}x\mathtt{d}y
\end{split}
$$
也就是闭区域$D$的面积$A$为:
$$
\begin{split}
A=\frac{1}{2}\oint_C{-y}\mathtt{d}x+x\mathtt{d}y
\end{split}
$$
那么求椭圆面积就变为了求解上述式子,有:
$$
\begin{split}
A&=\frac{1}{2}\oint_C{-y}\mathtt{d}x+x\mathtt{d}y \\
&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}{-b\sin\theta}\mathtt{d}{a\cos\theta}+a\cos\theta\mathtt{d}b\sin\theta \\
&=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}{ab\sin^2\theta}\mathtt{d}{\theta}+ab\cos^2\theta\mathtt{d}\theta \\
&=\frac{1}{2}ab·2\pi \\
&=ab\pi
\end{split}
$$