曲线积分
第一类曲线积分
第一类曲线积分用来求一个曲线物体的质量.
当物体的密度是一个常值时，只需要将密度乘以弧长就可以得到质量.
当物体的密度不均匀时，我们将密度表示为函数$f$，并对函数在曲线上积分，称为第一类曲线积分或者对弧长的曲线积分,记为$\int_Cf(x,y)\mathtt{d}s$，即
$$
\int_Cf(x,y)\mathtt{d}s=\lim_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta{s_i}
$$
其中$f(x,y)$称为被积函数,$C$称为积分曲线,$\mathtt{d}s$称为弧微分.
我们可以把这个概念扩展到三维空间或者更高维的空间中：
$$
\int_Cf(x,y,z)\mathtt{d}s=\lim_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta{s_i}
$$
第二类曲线积分
和第一类曲线积分不同，第二类曲线积分可以用来表示变力沿曲线做的功，是有方向的.
第二类曲线积分记为:
$$
\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy\quad或\quad\int_C\boldsymbol{F}(x,y)·\mathtt{d}\boldsymbol{r}
$$
特别地，还可以有对某个方向的曲线积分
沿曲线$C$对坐标$x$的曲线积分
$$
\int_CP(x,y)dx=\lim_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^nP(\xi_i,\eta_i)\Delta{x_i}
$$
沿曲线$C$对坐标$y$的曲线积分
$$
\int_CQ(x,y)dy=\lim_{\lambda\to{0}}\sum_{i=1}^nQ(\xi_i,\eta_i)\Delta{y_i}
$$
既然如此，应该还可以对一个特定的方向积分，就是不知道怎么表示.
如果曲线$C$为闭曲线，则记第二类曲线积分为
$$
\oint_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy\quad或\quad\oint_C\boldsymbol{F}(x,y)·\mathtt{d}\boldsymbol{r}
$$