$\mathtt{B\acute{e}zier}$曲线的定义
$$
P(t)=\sum_{i=0}^nB_{i,n}(t)P_i,0\le{t}\le{1}
$$
其中，
$$
B_{i,n}(t)=C_n^it^i(1-t)^{n-i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}t^i(1-t)^{n-i},i=0,1,\dots,n
$$
当$n=1$时,式子成为
$$
\begin{split}
P(t)&=B_{0,1}(t)P_0+B_{1,1}(t)P_1,0\le{t}\le{1} \\
&=(1-t)P_0+tP_1 \\
&=
\begin{pmatrix}
t & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
P_0 \\
P_1 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
这个式子意味着这是一条从$P_0$连到$P_1$的直线段.
当$n=2$时,式子成为
$$
\begin{split}
P(t)&=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2 \\
&=
\begin{pmatrix}
t^2 & t & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
P_0 \\
P_1 \\
P_2 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
这次是一个抛物线.
当$n=3$时，式子成为
$$
\begin{split}
P(t)&=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 \\
&=
\begin{pmatrix}
t^3 & t^2 & t & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 3 & -3 & 1 \\
3 & -6 & 3 & 0 \\
-3 & 3 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
P_0 \\
P_1 \\
P_2 \\
P_3 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$$