微分方程
先整理一些在下面会出现的概念或者定义…
微分方程指一个表示未知函数、未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程.
微分方程的阶指微分方程中出现的最高阶导数或偏导数的阶.
常微分方程指自变量个数只有一个的微分方程.
偏微分方程指自变量个数大于一个的微分方程.
举个栗子:
$\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{u}}{\partial{z^2}}=0$是一个二阶偏微分方程，
形如
$$
F(x,y,y’,…,y^{(n)})=0
$$
的等式称作一个以$x$为自变量,以$y(x)$为未知函数的n阶常微分方程
下面关注的是一些关于常微分方程和它的解法的内容,以及一些常见的问题.偏微分方程不会涉及.
解和通解
微分方程有解和通解两个概念, 如果一个函数如$y=x^2+3$带入方程$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=2x$,可以使得方程恒成立，此时称$y=x^2+3$是该方程的一个解.
如果一个$n$阶微分方程有解$y=\varphi(x, C_1, C_2, …, C_n)$, 并且其中$C_1, C_2, … C_n$是相互独立的任意常数，我们称$y=\varphi(x,C_1,C_2,…,C_n)$为该方程的通解.
如果一个方程的通解需要使用隐函数来表示，那么我们称这个通解为方程的隐式通解或者通积分
然后我们看一下一阶微分方程的初等解法，出于方便下面描述中的微分方程均指常微分方程.
一阶微分方程的初等解法
并不是所有的一阶方程都可以求得由初等函数表示的解,如
$$
y’=x^2+y^2
$$
这个方程就不行，至于为什么不行，这个在1838年被刘维尔证明了.
在实际应用中有很多的微分方程都没有可以用初等函数表示的解，但我们还是要讨论一些能解的情况的解放，比如对于一些一阶微分方程我们可以用分离变量的方式来求解，对于一些不可以直接分离变量的方程，我们也可以把它化为可以分离变量的方式再求解……所以分离变量是一个比较有用的方法.
变量分离方程
变量分离方程就是形如
$$
\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f(x)g(y)
$$
的微分方程，其中$f, g$都是连续函数.
对于这种形式的方程我们可以把与$x$和$y$有关的部分分别放到等号的两边，然后两边同时进行积分操作，就可以得到它的解.
具体如下:
$$
\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f(x)g(y)
$$
交换一下x,y的位置
$$
\frac{\mathtt{d}y}{g(y)}=f(x)\mathtt{d}x
$$
两边积分
$$
\int{\frac{\mathtt{d}y}{g(y)}}=\int{f(x)\mathtt{d}x}+C
$$
我们得到的式子即为原方程的隐式通解或者通积分，如果我们能求出该式子确定的函数$y=\phi(x,C)$,那么$y=\phi(x,C)$是原方程的通解.
注意的是我们在第二行移项的时候将$g(y)$挪到了分母位置，如果有一个$y=y_0$使得$g(y_0)=0$,我们会发现它同样是方程的一个解,但不在上述的通解当中，我们应该将它补上. 也就是如果我们在运算过程中发现了一些使得某些函数定义域或者值域发生改变的情况，我们需要把这个被去除掉的部分补上.
可以化为变量分离方程的情况
有一些情况虽然不是可以变量分离的形式，但经过一些简单的变换可以化为上述的$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f(x)g(y)$的形式, 比如下面的几个:
1. 形如$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f(ax+by+c)$的微分方程
这时候我们设$u=ax+by+c$,则有
$$
\mathtt{d}u=a\mathtt{d}x+b\mathtt{d}y
$$
我们需要将$\mathtt{d}y$和$\mathtt{d}x$放在一起变为$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}$的形式，然后把方程左边的$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}$替换掉，从而使方程变为$u$和$x$的变量分离方程,因此有:
$$
\frac{\mathtt{d}u}{\mathtt{d}x}=a+b\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}
$$
即
$$
\frac{\mathtt{d}u}{\mathtt{d}x}=a+bf(u)
$$
此时式子是一个变量分离方程，那么我们可以根据变量分离方程的方法试着求得通解，然后再将$u$替换为$ax+by+c$即可。比如我们求得通解$u=\varphi(x,C)$,则原方程的通解为$ax+by+c=\varphi(x,C)$
2. 形如$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f(\frac{y}{x})$的微分方程
此时替换的是$\frac{y}{x}$,也就是令$u=\frac{y}{x}$,有:
$$
x\mathtt{d}u+u\mathtt{d}x=dy
$$
还是同样的套路，我们把上式化成:
$$
\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=x\frac{\mathtt{d}u}{\mathtt{d}x}+u
$$
有
$$
x\frac{\mathtt{d}u}{\mathtt{d}x}+u=f(u)
$$
我们也可以看出这个方程可以化为变量分离方程，如果我们可以得到通解$u=\varphi(x,C)$,那么原式通解为$\frac{y}{x}=\varphi(x,C)$
3. 形如$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f\left(\frac{a_1x+b_1x+c}{a_2x+b_2y+c}\right)$的微分方程
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程指形如
$$
\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}+P(x)y=Q(x)
$$
的方程
一阶齐次线性微分方程
当$Q(x)\equiv0$时，成为一阶齐次线性方程.
一阶非齐次线性微分方程
当然是$Q(x)\not\equiv0$时了
全微分方程与积分因子
全微分方程
我们可以将一阶微分方程$y’=f(x,y)$写成如下的形式
$$
P(x,y)\mathtt{d}x+Q(x,y)\mathtt{d}y=0
$$
此时如果存在可微函数$\lambda(x,y)$使得$d\lambda(x,y)=P(x,y)\mathtt{d}x+Q(x,y)\mathtt{d}y$,则$P(x,y)\mathtt{d}x+Q(x,y)\mathtt{d}y=0$称为恰当微分,该方程称为全微分方程或恰当方程
积分因子
有的方程虽然不是全微分方程，但在等式左右两边乘上一个连续可微函数$\mu(x,y)$,可以化为全微分方程,此时我们称这个$\mu(x,y)$为这个方程的积分因子.
解的存在唯一性定理
我并没有看懂这一整个皮卡存在唯一性定理的证明
利普希兹(Lipschitz)条件
我正在试图找一个函数绘图软件画一下…
利普希兹条件是指:
如果存在一个常数$L$，使得一个函数$f(x,y)$在区域$D$内,$\mid f(x,y_1)-f(x,y_2)\mid\le L\mid(y_1-y_2)\mid$对所有的$(x,y_1),(x,y_2)\in{D}$都成立.
我们称$L$是利普希兹常数，称$f(x,y)$在区域$D$上关于$y$满足利普希兹条件.
皮卡存在唯一性定理
如果$f(x,y)$在闭区域$D$：$\mid x-x_0\mid\le{a},\mid y-y_0\mid\le{b}$上连续且关于$y$满足利普希兹条件，则方程$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f(x,y)$存在唯一的解$y=\phi(x)$,它在区间$\mid x-x_0\mid\le{h}$上连续，且满足初始条件$\phi(x_0)=y_0$,这里$h=\min(a,\frac{b}{M}),M=\max\limits_{(x,y)\in{D}}\mid f(x,y)\mid$.
上面的定理描述是针对一阶微分方程的,那么高阶的时候是否成立或者如何描述呢？
证明起来步骤似乎很长，首先证明有解等价于一个式子，然后构造一个函数序列，证明对于每个n，函数都存在，然后证明函数序列一致收敛，求极限后等于我们要求的式子，最后再证明解的唯一性…
定理的证明
我们分五个引理来证明这个定理。方便起见区间$\mid x-x_0\mid\le{h}$取$x_0\le{x}\le{x_0+h}$部分来证明.
引理1
$y=\phi(x)$是方程$\frac{\mathtt{d}y}{\mathtt{d}x}=f(x,y)$定义在区间$x_0\le{x}\le{x_0+h}$上,且满足初始条件$\phi(x_0)=y_0$的解，当且仅当$y=\phi(x)$在$x_0\le{x}\le{x_0+h}$上连续且满足
$$
\phi(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(x,y)\mathtt{d}x,(x_0\le{x}\le{x_0+h})
$$
(看起来是这样，既满足初始条件，求个导也是$f(x,y)$)
证明:
由于$y=\phi(x)$是方程的解，有:
$$
\frac{\mathtt{d}\phi(x)}{\mathtt{d}x}=f(x,\phi(x))
$$
(直接写y不好吗)
那么我们对两边从$x_0$到$x$求定积分就可以得到:
$$
\phi(x)-\phi(x_0)=\int_{x_0}^xf(x,\phi(x))\mathtt{d}x,(x_0\le{x}\le{x_0+h})
$$
整理一下就是上面写的式子了.
反过来我们对$\phi(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(x,y)\mathtt{d}x,(x_0\le{x}\le{x_0+h})$两边求导,可得
$$
\frac{\mathtt{d}\phi(x)}{\mathtt{d}x}=f(x,\phi(x))
$$
(所以$y$和$\phi$混着写令人非常难受)
证明了这个引理就是告诉我们在这个区间上，有解和这个条件是等价的，那我们后面需要证这个条件就可以得出有解.
引理2
我们首先构造一个皮卡逐步逼近函数序列:
$$
\begin{cases}
\phi_0(x)=y_0 \\
\phi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\phi_{n-1}(t))\mathtt{d}t,(x_0\le{x}\le{x_0+h})
\end{cases}
$$
引理2的内容是：
对于所有的$n$，式中的函数$\phi_n(x)$在区间$x_0\le{x}\le{x_0+h}$都有定义且满足:
$$
\mid{\phi_n(x)-y_0}\mid\le{b}
$$
证明：
我们用数学归纳法可以证明。当$n=1$时，$\phi_1(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y_0)\mathtt{d}t$，易见这个函数在$x_0\le{x}\le{x_0+h}$上有定义，连续且有:
$$
\begin{split}
\mid\phi_1(x)-y_0\mid&=\left\vert\int_{x_0}^xf(t,y_0)\mathtt{d}t\right\vert \\
&\le\int_{x_0}^x\vert{f(t,y_0)}\vert\mathtt{d}t \\
&\le{M(x-x_0)}\le{Mh}\le{b}
\end{split}
$$
引理3
引理4
引理5
高阶微分方程
这一部分主要是二阶齐次和非齐次微分方程，有时候虽然不好解，但我们的问题可能只是需要一个解，或者由一些条件来计算通解.因此这里是一些性质和定理，可以直接使用.
应用举例
emmm,似乎没有那么必要