关于泰勒公式的一些知识。
- 泰勒展开的介绍
- 几个余项
- （最好有个证明啦）
- 常见应用
公式
泰勒公式是一个非常有用的工具，了解泰勒公式会非常有帮助。
公式的形式如下：
$$
f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
$$
左边是我们需要进行展开的函数，右边是它的展开式，显然我们需要满足一些条件，那就是式子中的值是存在的。比如对于$e^x$，它在$x_0$处的n阶导数总是可以取到值，那么我们就可以在$x_0$处将它按照我们的需要不停地展开。最后一项$R_n(x)$是余项，可以写成很多种形式，我们需要知道的是它是$(x-x_0)^n$的高阶无穷小。
常见应用
我们可以用泰勒公式来展开一些常见的函数，在$x_0=0$处展开时，称为麦克劳林公式。
$$
\begin{aligned}
&e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3) \\
&\ln{(1+x)}=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \\
&\sin{x}=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+o(x^5) \\
&\arcsin{x}=x+\frac{1}{2}·\frac{x^3}{3}+\frac{1*3}{2*4}·\frac{x^5}{5}+\frac{1*3*5}{2*4*6}·\frac{x^7}{7}+o(x^7) \\
&\cos{x}=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4) \\
&\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3) \\
&(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3) \\
\end{aligned}
$$