关于泊松分布的一些知识。
- 什么是泊松分布
- 应用场景
- 为什么这样子
- 实现一个泊松分布
泊松分布的概率函数
$$
P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,\dots
$$
其中$\lambda$表示单位时间内随机事件发生的平均次数。
泊松分布的作用
泊松分布适用于描述单位时间内随机事件发生的次数，它的期望和方差都是$\lambda$。期望很好理解，因为事情发生的次数的平均值本来就是$\lambda$，我们弄出来的分布如果期望不是$\lambda$就不合理了。
泊松分布可以用于这样的场景：当我们观察到某件事情在单位时间内的平均发生次数之后，计算某段时间发生次数为/大于/小于N次的概率（当然也可以是要求达到一个概率）。如：
- 某程序员平均一天写出3个bug，如果他一天写出了10个或更多的bug，他就会被开除，那么他明天被开除的概率是多少？
- 某土豆提供商向某公司提供土豆，该公司平均一天买6个土豆，如果提供商需要在90%的情况下提供足够的土豆，那么每天应该准备多少土豆？
我们使用泊松分布来解决这个问题。
问题一：
我们可以计算从0到9个的概率之和，那么剩下的就是大于等于10个的情况，用1减一下就OK了。我们有：
$$
\begin{aligned}
P(X\ge{10})&=1-P(X<10) \\
&=1-(P(0)+P(1)+\dots+P(9)) \\
&=1-(\frac{3^0}{0!}+\frac{3^1}{1!}+\dots+\frac{3^9}{9!})e^{-3} \\
&\approx0.0011
\end{aligned}
$$
所以被开除的可能性还是不高的，但是看起来也干不久的样子。
问题二：
这次我们需要满足的是下面的式子：
$$
P(X\le{N})\ge{0.9}
$$
那么我们可以慢慢算：
$$
\begin{aligned}
S(N)&=\sum_{k=0}^NP(X=k) \\
&=\sum_{k=0}^N\frac{6^k}{k!}e^{-6} \\
\end{aligned}
$$
那么S(9)时正好满足S(9)>0.9，我们可以得到只需要准备9个土豆就可以了。
用JS模拟一个泊松分布
{{ n }}
均值
实验次数